ความปลอดภัยเครือข่ายและไอที

ระบบเลขฐานและการแปลงเลขฐาน

บทเสริมนี้ลงลึกกว่าภาพรวมใน IT Foundations มาก โดยอธิบายระบบเลขฐานสี่แบบที่ใช้ในงานคอมพิวเตอร์ — ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก — พร้อมขั้นตอนการแปลงค่าระหว่างฐานต่าง ๆ อย่างละเอียดและทำซ้ำได้ มีตัวอย่างคำนวณและโจทย์แบบฝึกหัดให้ตรวจคำตอบเองได้ ทุกข้อความเชิงข้อเท็จจริงอ้างอิงจากแหล่งที่น่าเชื่อถือซึ่งระบุไว้ท้ายแต่ละหัวข้อ

01 / 05

ระบบเลขฐานทั้งสี่

ฐานเป็นตัวกำหนดสองสิ่ง: ระบบใช้ตัวเลขที่ต่างกันกี่ตัว และแต่ละหลักมีค่าเท่าใด เมื่อเข้าใจแนวคิด “ค่าประจำหลัก” แล้ว ทุกฐานจะทำงานเหมือนกันหมด

ฐานคืออะไร

ระบบเลขฐาน b ใช้ตัวเลขที่ต่างกัน b ตัวพอดี และแต่ละหลักมีค่าเป็นกำลังของ b เมื่ออ่านจากขวาไปซ้าย ค่าประจำหลักคือ b⁰, b¹, b², b³, … ดังนั้นฐานสอง (binary) ใช้ 0-1 ฐานแปด (octal) ใช้ 0-7 ฐานสิบ (decimal) ใช้ 0-9 และฐานสิบหก (hexadecimal) ใช้ 0-9 แล้วต่อด้วย A-F แทนค่าสิบถึงสิบห้า [1] ความต่างเดียวระหว่างแต่ละระบบคืออัตราการเพิ่มของค่าประจำหลัก: ฐานสองเพิ่มทีละสองเท่า ฐานแปดทีละ ×8 ฐานสิบหกทีละ ×16 [2]

ค่าประจำหลัก: แต่ละหลักคือกำลังของฐาน

หลัก (นับจากขวา)	ค่าฐานสิบ (10ⁿ)	ค่าฐานสอง (2ⁿ)
0	1	1
1	10	2
2	100	4
3	1000	8
4	10000	16
5	100000	32

ฐานสอง (base-2)

ฐานสองใช้เพียง 0 และ 1 เพราะฮาร์ดแวร์ดิจิทัลเก็บข้อมูลด้วยส่วนประกอบที่สลับระหว่างสองสถานะ (ปิด/เปิด, ต่ำ/สูง) หนึ่งไบต์มี 8 บิต จึงเก็บค่าได้ 2⁸ = 256 ค่า คือ 0 ถึง 255 ฐานสองแม่นยำแต่ยาว จึงมีฐานแปดและฐานสิบหกไว้เป็นรูปแบบย่อ [2]

ฐานแปด (base-8)

ฐานแปดใช้ตัวเลข 0-7 และเลขฐานแปดหนึ่งหลักแทนได้พอดีสามบิต ปัจจุบันยังพบบ่อยในสิทธิ์ไฟล์ของ Unix/Linux ที่ใช้เช่น 0o644 หรือ 0o755 อธิบายบิตอ่าน/เขียน/รัน ในรูปแบบกระชับ [3]

ฐานสิบ (base-10)

ฐานสิบคือระบบที่มนุษย์ใช้ในชีวิตประจำวัน มีตัวเลข 0-9 คอมพิวเตอร์แปลงเข้า-ออกฐานสิบที่ขั้นรับเข้าและแสดงผล แต่ภายในไม่ได้คำนวณด้วยฐานสิบ

ฐานสิบหก (base-16)

ฐานสิบหกใช้ 0-9 แล้วต่อด้วย A-F (A=10 … F=15) และเลขฐานสิบหกหนึ่งหลักแทนได้พอดีสี่บิต เพราะเลขฐานสิบหกสองหลักจับคู่กับหนึ่งไบต์พอดี จึงพบฐานสิบหกได้ทั่วไป: สีในเว็บ (#FF8800) ตำแหน่งหน่วยความจำ ที่อยู่ MAC และค่าแฮช [4]

ค่าแรก ๆ ในฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก

ตารางอ้างอิง: 0 ถึง 16 ในทั้งสี่ฐาน

ฐานสิบ	ฐานสอง	ฐานแปด	ฐานสิบหก
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

ควรจำ 0–15 ให้ได้ จะช่วยให้แปลงทุกครั้งเร็วขึ้น

วิธีเขียนระบุฐาน

เพื่อเลี่ยงความกำกวม เราระบุฐานด้วยคำนำหน้าหรือตัวห้อย: 0b หรือ ₂ สำหรับฐานสอง, 0o หรือ ₈ สำหรับฐานแปด, 0x (หรือ # สำหรับสี) หรือ ₁₆ สำหรับฐานสิบหก และเขียนตัวเลขล้วนสำหรับฐานสิบ ดังนั้น 0b1010, 0o12 และ 0x0A ล้วนหมายถึงฐานสิบ 10 [4]

แบบฝึกหัด — รู้จักฐาน

1
ในฐานสิบหก ตัวอักษรใดแทนค่าฐานสิบ 10 ถึง 15?
›ดูเฉลย
คำตอบ: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
2
เลข 0o17 เขียนในฐานใด และมีการกระจายค่าประจำหลักอย่างไร?
›ดูเฉลย
คำตอบ: ฐานแปด (base-8); 1×8 + 7×1
3
ในฐานสอง หลักที่ 7 (นับจากขวา เริ่มที่หลัก 0) มีค่าประจำหลักเท่าใด?
›ดูเฉลย
คำตอบ: 2⁷ = 128
4
ข้อใดไม่ใช่เลขฐานแปดที่ถูกต้อง: 17, 28, 70?
›ดูเฉลย
คำตอบ: 28 ไม่ถูกต้อง
วิธีทำ
เลขฐานแปดมีตัวเลข 0–7 เท่านั้น
28 มีเลข 8 ซึ่งไม่มีในฐานแปด
5
ใช้ตารางอ้างอิง เขียนฐานสิบ 12 เป็นฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก
›ดูเฉลย
คำตอบ: 1100₂, 14₈, C₁₆

แหล่งอ้างอิง

02 / 05

แปลงฐานใด ๆ เป็นฐานสิบ (ผลรวมถ่วงน้ำหนัก)

ฐานสิบเป็นปลายทางที่ง่ายที่สุดเพราะเราบวกในฐานสิบได้โดยตรง กฎเดียวกันนี้ใช้ได้กับฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก: คูณแล้วบวก

ขั้นตอน

1เขียนค่าประจำหลักของแต่ละหลัก (กำลังของฐาน) โดยเพิ่มจากขวาไปซ้าย
2คูณตัวเลขแต่ละหลักด้วยค่าประจำหลักของมัน
3บวกผลคูณทั้งหมด ผลรวมคือค่าฐานสิบ

ฐานสอง 11010₂ → ฐานสิบ

1 1 0 1 0 (ตัวเลข)

16 8 4 2 1 (ค่าประจำหลัก)

1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1

= 16 + 8 + 2 = 26

ฐานแปด 345₈ → ฐานสิบ

3 4 5 (ตัวเลข)

64 8 1 (ค่าประจำหลัก)

3×64 + 4×8 + 5×1

= 192 + 32 + 5 = 229

ฐานสิบหก 1A7₁₆ → ฐานสิบ

1 A 7 (ตัวเลข, A = 10)

256 16 1 (ค่าประจำหลัก)

1×256 + 10×16 + 7×1

= 256 + 160 + 7 = 423

กฎผลรวมถ่วงน้ำหนักนี้ใช้ได้กับทุกฐาน เปลี่ยนเพียงเลขยกกำลัง (กำลังของ 2, 8 หรือ 16 แทน 10) [1][2]

แบบฝึกหัด — แปลงเป็นฐานสิบ

1
101101₂ = ? (ฐานสิบ)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 45
วิธีทำ
1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
= 32 + 8 + 4 + 1 = 45
2
72₈ = ? (ฐานสิบ)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 58
วิธีทำ
7×8 + 2×1 = 56 + 2 = 58
3
2C₁₆ = ? (ฐานสิบ)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 44
วิธีทำ
C = 12
2×16 + 12×1 = 32 + 12 = 44
4
11111111₂ = ? (ฐานสิบ)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 255
วิธีทำ
128+64+32+16+8+4+2+1 = 255
5
FF₁₆ = ? (ฐานสิบ)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 255
วิธีทำ
15×16 + 15×1 = 240 + 15 = 255

แหล่งอ้างอิง

03 / 05

แปลงฐานสิบเป็นฐานใด ๆ (หารแล้วเก็บเศษ)

ในทางกลับกัน ให้หารด้วยฐานปลายทางซ้ำ ๆ แล้วนำเศษมาอ่านย้อนกลับเป็นคำตอบ

ขั้นตอน

การแปลงจำนวนฐานสิบให้เป็นฐาน b:

1หารจำนวนด้วยฐานปลายทาง b
2จดผลหาร (quotient) และเศษ (remainder)
3ทำซ้ำกับผลหารจนกว่าจะเหลือ 0
4อ่านเศษจากล่างขึ้นบน นั่นคือคำตอบ [1]

156 → ฐานสอง (หารด้วย 2)

156 ÷ 2 = 78 เศษ 0

78 ÷ 2 = 39 เศษ 0

39 ÷ 2 = 19 เศษ 1

19 ÷ 2 = 9 เศษ 1

9 ÷ 2 = 4 เศษ 1

4 ÷ 2 = 2 เศษ 0

2 ÷ 2 = 1 เศษ 0

1 ÷ 2 = 0 เศษ 1

อ่านขึ้น → 10011100₂

156 → ฐานสิบหก (หารด้วย 16)

156 ÷ 16 = 9 เศษ 12 (C)

9 ÷ 16 = 0 เศษ 9

อ่านขึ้น → 9C₁₆

100 → ฐานแปด (หารด้วย 8)

100 ÷ 8 = 12 เศษ 4

12 ÷ 8 = 1 เศษ 4

1 ÷ 8 = 0 เศษ 1

อ่านขึ้น → 144₈

ตรวจคำตอบเสมอด้วยการแปลงกลับเป็นฐานสิบด้วยผลรวมถ่วงน้ำหนัก: 144₈ = 64 + 32 + 4 = 100 ✓

แบบฝึกหัด — แปลงจากฐานสิบ

1
45 → ฐานสอง
›ดูเฉลย
คำตอบ: 101101₂
วิธีทำ
45÷2=22 เศษ1
22÷2=11 เศษ0
11÷2=5 เศษ1
5÷2=2 เศษ1
2÷2=1 เศษ0
1÷2=0 เศษ1
อ่านขึ้น → 101101₂
2
200 → ฐานสิบหก
›ดูเฉลย
คำตอบ: C8₁₆
วิธีทำ
200÷16=12 เศษ8
12÷16=0 เศษ12 (C)
อ่านขึ้น → C8₁₆
3
83 → ฐานแปด
›ดูเฉลย
คำตอบ: 123₈
วิธีทำ
83÷8=10 เศษ3
10÷8=1 เศษ2
1÷8=0 เศษ1
อ่านขึ้น → 123₈
4
255 → ฐานสิบหก
›ดูเฉลย
คำตอบ: FF₁₆
วิธีทำ
255÷16=15 เศษ15 (F)
15÷16=0 เศษ15 (F)
อ่านขึ้น → FF₁₆

แหล่งอ้างอิง

[1]Base Conversions for Number System — GeeksforGeeks

04 / 05

ทางลัด: ฐานสอง ↔ ฐานแปดและฐานสิบหก

ระหว่างฐานสองกับฐานแปด/ฐานสิบหก ไม่ต้องผ่านฐานสิบเลย เพราะฐานเหล่านี้เป็นกำลังของสอง จึงเพียงแค่จับกลุ่มบิต

เพราะ 8 = 2³ และ 16 = 2⁴ เลขฐานสองจึงเรียงตรงกับฐานแปดและฐานสิบหกพอดี: เลขฐานแปดหนึ่งหลักคือสามบิต เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิต เราจึงแปลงได้ด้วยการจับกลุ่มบิต ไม่ต้องหารหรือบวก [1][2]

ฐานสอง → ฐานสิบหก

1เริ่มจากขวา แบ่งบิตเป็นกลุ่มละ 4 (เรียกว่านิบเบิล)
2ถ้ากลุ่มซ้ายสุดไม่ครบ ให้เติมศูนย์นำหน้า
3แทนแต่ละกลุ่ม 4 บิตด้วยเลขฐานสิบหก (ใช้ตารางอ้างอิง) [1]

11010110₂ → ฐานสิบหก

1101 0110

D 6

→ D6₁₆

ฐานสอง → ฐานแปด

1เริ่มจากขวา แบ่งบิตเป็นกลุ่มละ 3
2ถ้ากลุ่มซ้ายสุดไม่ครบ ให้เติมศูนย์นำหน้า
3แทนแต่ละกลุ่ม 3 บิตด้วยเลขฐานแปด [2]

11010110₂ → ฐานแปด

011 010 110

3 2 6

→ 326₈

การจับกลุ่มบิตเป็นฐานสิบหก (4 บิต) และฐานแปด (3 บิต)

แปลงกลับ: 2F₁₆ และ 57₈ → ฐานสอง

2 = 0010, F = 1111 → 00101111 = 101111₂

5 = 101, 7 = 111 → 101111₂

(ทั้งคู่เท่ากับฐานสิบ 47 — ใช้ตรวจทานได้ดี)

ใช้ 4 บิตต่อหนึ่งหลักฐานสิบหก และ 3 บิตต่อหนึ่งหลักฐานแปด อย่าสลับขนาดกลุ่มเด็ดขาด [3]

แบบฝึกหัด — จับกลุ่มบิต

1
10111100₂ → ฐานสิบหก
›ดูเฉลย
คำตอบ: BC₁₆
วิธีทำ
1011 1100
B C
→ BC₁₆
2
110101₂ → ฐานแปด
›ดูเฉลย
คำตอบ: 65₈
วิธีทำ
110 101
6 5
→ 65₈
3
A9₁₆ → ฐานสอง
›ดูเฉลย
คำตอบ: 10101001₂
วิธีทำ
A = 1010, 9 = 1001
→ 10101001₂
4
11010₂ → ฐานแปด
›ดูเฉลย
คำตอบ: 32₈
วิธีทำ
แบ่งกลุ่มละ 3 จากขวา: 011 010
3 2
→ 32₈

แหล่งอ้างอิง

05 / 05

โจทย์แบบฝึกหัดรวม

รวมทั้งสี่เทคนิคไว้ด้วยกัน ลองทำลงกระดาษก่อน แล้วจึงเปิดเฉลยเพื่อตรวจวิธีทำของคุณ

โจทย์

1
แปลง 11001011₂ เป็นฐานสิบและฐานสิบหก
›ดูเฉลย
คำตอบ: 203 (ฐานสิบ), CB₁₆
วิธีทำ
ฐานสิบ: 128+64+8+2+1 = 203
ฐานสิบหก: 1100 1011 → C B → CB₁₆
2
แปลง 0xB7 เป็นฐานสิบและฐานสอง
›ดูเฉลย
คำตอบ: 183 (ฐานสิบ), 10110111₂
วิธีทำ
ฐานสิบ: 11×16 + 7 = 176 + 7 = 183
ฐานสอง: B = 1011, 7 = 0111 → 10110111₂
3
แปลงฐานสิบ 175 เป็นฐานสองและฐานแปด
›ดูเฉลย
คำตอบ: 10101111₂, 257₈
วิธีทำ
ฐานสอง: 128+32+8+4+2+1 = 175 → 10101111₂
ฐานแปด: 175÷8=21 เศษ7, 21÷8=2 เศษ5, 2÷8=0 เศษ2 → 257₈
4
ค่าใดมากกว่ากัน: 0x2A หรือ 0o52?
›ดูเฉลย
คำตอบ: เท่ากัน (ทั้งคู่คือ 42)
วิธีทำ
0x2A = 2×16 + 10 = 42
0o52 = 5×8 + 2 = 42
5
ไฟล์มีสิทธิ์ 0o644 จงเขียนเป็นฐานสอง (9 บิต)
›ดูเฉลย
คำตอบ: 110100100₂
วิธีทำ
6 = 110, 4 = 100, 4 = 100
→ 110 100 100 (rw- r-- r--)
6
แปลง 11110000₂ เป็นฐานสิบหกและฐานแปด
›ดูเฉลย
คำตอบ: F0₁₆, 360₈
วิธีทำ
ฐานสิบหก: 1111 0000 → F 0 → F0₁₆
ฐานแปด: 011 110 000 → 3 6 0 → 360₈